若实数 $x,y$ 满足 $x\geqslant -1,y\geqslant -1$，且 $2^x+2^y=4^x+4^y$，求 $2^{2x-y}+2^{2y-x}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[2,1+\dfrac {3\sqrt 2}{2}\right]$
【解析】
设 $2^x=a,2^y=b$，则 $a,b\geqslant \dfrac 12$，且$$a^2+b^2=a+b$$记所求代数式为 $M$，则$$M=\dfrac {b^2}{a}+\dfrac {a^2}{b}.\cdots (1)$$考虑对 $M$ 进行代数变形，将 $M$ 化成齐次式有$$M=\dfrac{a^3+b^3}{ab}\cdot\dfrac{a+b}{a^2+b^2}.$$令 $t=\dfrac ab$，有$$M=\dfrac {(t^3+1)(t+1)}{t(t^2+1)}=\dfrac {(t+1)^2}{t}\cdot\dfrac{t^2-t+1}{t^2+1}=\left(t+\dfrac 1t+2\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{t+\frac 1t}\right).$$令 $s=t+\dfrac 1t$，于是得$$ M=(s+2)\left(1-\dfrac 1s\right)=1+s-\dfrac 2s.\cdots (2) $$$(1)$ 的限制条件为$$\left(a-\dfrac 12\right)^2+\left(b-\dfrac 12\right )^2=\dfrac 12,$$于是 $(a,b)$ 在一个 $\dfrac 14$ 圆弧上（包括端点），如图：
从而有 $\dfrac ab\in\left[\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\right]$，$s\in \left[2,2\sqrt 2\right]$．
代入 $(2)$ 式得 $M$ 的范围是$$\left[2,1+\dfrac {3\sqrt 2}{2}\right].$$其他解法 在本题中，因为条件比较特殊，也可以考虑对称性直接通过边界与对称点得到所求代数式的范围，将 $M$ 进行变形$$ M=\dfrac {a+b-b^2}{b}+\dfrac {a+b-a^2}{a}=\dfrac ab+\dfrac ba-(a+b)+2.$$结合 $(a,b)$ 在圆弧上容易得到$$\dfrac ab+\dfrac ba\in[2,2\sqrt 2],a+b\in \left[1+\dfrac {\sqrt 2}{2},2\right],$$从而$$M\in\left[2,1+\dfrac 32\sqrt 2\right ],$$且边界恰好可以取到，于是得到 $M$ 的取值范围．但这种方法没有一般性，条件稍作改变就无法奏效．
从而有 $\dfrac ab\in\left[\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\right]$，$s\in \left[2,2\sqrt 2\right]$．代入 $(2)$ 式得 $M$ 的范围是$$\left[2,1+\dfrac {3\sqrt 2}{2}\right].$$
答案
解析
备注
