若 $\alpha,\beta,\gamma$ 是任意实数，求$$\sqrt{|\sin\alpha-\sin\beta|}+\sqrt{|\sin\beta-\sin\gamma|}+\sqrt{|\sin\gamma-\sin\alpha|}$$的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2+\sqrt 2$
【解析】
记$$a=\sin\alpha,b=\sin\beta,c=\sin\gamma,$$由所求代数式的对称结构知，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，题目转化为：
已知 $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant -1$，求$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$的最大值．在数轴上标出 $a,b,c$，如下：
任意选定一点 $b$，我们知道 $a,c$ 离 $b$ 越远越好，故 $a=1,c=-1$ 时，所求代数式有最大值$$\sqrt 2+\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1},$$再考虑 $b$ 为何值时，$\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1}$ 最大．
不管是平方还是均值都可以得到当 $b=0$ 时，$\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1}$ 取到最大值 $2$，从而$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$有最大值 $2+\sqrt 2$，即为所求代数式的最大值．
已知 $1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant -1$，求$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$的最大值．在数轴上标出 $a,b,c$，如下：
任意选定一点 $b$，我们知道 $a,c$ 离 $b$ 越远越好，故 $a=1,c=-1$ 时，所求代数式有最大值$$\sqrt 2+\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1},$$再考虑 $b$ 为何值时，$\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1}$ 最大．不管是平方还是均值都可以得到当 $b=0$ 时，$\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1}$ 取到最大值 $2$，从而$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$有最大值 $2+\sqrt 2$，即为所求代数式的最大值．
答案
解析
备注
