题目 已知函数 $f(x)=ax+\dfrac{a-1}{x}+1-2a$． 问题1 若 $f(x)\geqslant \ln x$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围． 答案1 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 解析1 记 $g(x)=\ln x$，则$$g(1)=0,g'(1)=1,g''(1)=-1.$$而$$f'(x)=a-\dfrac {a-1}{x^2},f''(x)=\dfrac {2(a-1)}{x^3},$$所以$$f'(1)=1,f''(1)=2(a-1),$$于是我们找到讨论的分界点 $ a=\dfrac 12$．因为$$f(x)=a\left(x+\dfrac 1x-2\right)-\dfrac 1x+1,$$当 $a\geqslant\dfrac 12$ 时，有$$f(x)\geqslant \dfrac 12\left(x+\dfrac 1x-2\right)-\dfrac 1x+1=\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),$$容易证明$$\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)\geqslant \ln x,x\in[1,+\infty).$$另一方面，当 $a<\dfrac 12$ 时，考虑函数 $h(x)=f(x)-g(x)$，因为 $h''(1)<0$，而 $h'(1)=0$，所以存在某个区间 $(1,m)$，在此区间上有 $h'(x)<0$，而 $h(1)=0$，所以在 $(1,m)$ 上，有 $h(x)<0$，与 $h(x)\geqslant 0$ 恒成立矛盾．<br/>综上知 $a\geqslant \dfrac 12$． 备注1 问题2 证明：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n>\ln(n+1)+\dfrac {n}{2(n+1)}(n\geqslant 1)$． 答案2 略 解析2 由 $(1)$ 知$$\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)\geqslant \ln x,x\in[1,+\infty),$$令 $x=\dfrac{k+1}{k}$ 有$$\dfrac 12\left(\dfrac {k+1}k-\dfrac k{k+1}\right)=\dfrac 12\left(\dfrac 1k+\dfrac 1{k+1}\right)\geqslant \ln\dfrac {k+1}k,$$依次取 $k=1,2,\cdots,n$ 累加整理即得要证不等式，显然等号无法取到． 备注2 每日一题[320]顺藤摸瓜的练习．