函数 $g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12}+\cos \left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)$，求 $g\left(\dfrac{1}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2}{2016}\right)+\cdots+g\left(\dfrac{2014}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2015}{2016}\right)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2015$
【解析】
观察所求式子中自变量的特点，可知解决此题的关键是寻找对称中心．我们可以利用导函数的对称轴去寻找 $g(x)$ 的对称中心，但发现 $g(x)$ 没有对称中心．观察 $g(x)$，它是由一个三次函数和一个余弦型函数相加得到的，这两个函数都是中心对称的函数，我们分别寻找它们的对称中心，求出它们在各个点的函数值之和，再相加即可．
令$$s(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12},\quad v(x)=\cos\left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)=\sin\left(x-\dfrac 12\right ).$$则$$g(x)=s(x)+v(x).$$$s(x)$ 的导函数$$s'(x)=x^2-x+3$$的对称轴为 $x=\dfrac{1}{2}$，于是 $s(x)$ 关于点 $\left(\dfrac{1}{2},s\left(\dfrac 12\right)\right)$ 中心对称．又由正弦型函数的性质知，$v(x)$ 的一个对称中心是 $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$．于是有$$s(x)+s(1-x)=2s\left(\dfrac{1}{2}\right)=2,\quad v(x)+v(1-x)=0.$$由倒序相加法知$$\sum_{i=1}^{2015}{s\left(\dfrac {i}{2016}\right)}=\dfrac 12\sum_{i=1}^{2015}\left[s\left(\dfrac {i}{2016}\right)+s\left(\dfrac {2016-i}{2016}\right )\right ]=2015.$$同理有$$\sum_{i=1}^{2015}{v\left(\dfrac{i}{2016}\right )}=0.$$故所求的值为 $2015+0=2015$．
令$$s(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12},\quad v(x)=\cos\left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)=\sin\left(x-\dfrac 12\right ).$$则$$g(x)=s(x)+v(x).$$$s(x)$ 的导函数$$s'(x)=x^2-x+3$$的对称轴为 $x=\dfrac{1}{2}$，于是 $s(x)$ 关于点 $\left(\dfrac{1}{2},s\left(\dfrac 12\right)\right)$ 中心对称．又由正弦型函数的性质知，$v(x)$ 的一个对称中心是 $\left(\dfrac{1}{2},0\right)$．于是有$$s(x)+s(1-x)=2s\left(\dfrac{1}{2}\right)=2,\quad v(x)+v(1-x)=0.$$由倒序相加法知$$\sum_{i=1}^{2015}{s\left(\dfrac {i}{2016}\right)}=\dfrac 12\sum_{i=1}^{2015}\left[s\left(\dfrac {i}{2016}\right)+s\left(\dfrac {2016-i}{2016}\right )\right ]=2015.$$同理有$$\sum_{i=1}^{2015}{v\left(\dfrac{i}{2016}\right )}=0.$$故所求的值为 $2015+0=2015$．
答案
解析
备注
