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$f(x)$ 在 $(-\infty,2)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty)$ 上单调递减，有极大值 $f(2)=\mathrm e^{-2}$，无极小值

对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac {2-x}{\mathrm e^x},$$所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,2)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty)$ 上单调递减，有极大值 $f(2)=\mathrm e^{-2}$，无极小值；

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略

我们知道对于二次函数来说，如果两个自变量对应函数值相等，那么这两个自变量的和为定值，这是由二次函数的对称性与单调性决定的．本题中函数的单调性与二次函数类似，我们先从直观上理解一下第 $(2)$ 题结论的含义：
由 $(1)$ 知，在函数 $f(x)$ 的图象上，$x=2$ 相当于山顶，在 $x=2$ 的两侧，函数图象的“陡峭程度”是不同的（因为分母 $\mathrm e^x$ 对应的值不同），左侧更陡峭，右侧更平缓，所以这两侧对应的点如果在同一海拔上，则右侧的点离山顶的“水平”距离更远．好像两条下山的路，更平缓的路更远一样．
要严格证明这个问题，我们可以将 $x=2$ 左侧的图象对称到右侧去，比较对称过去的函数与原来函数的大小关系得到结果．函数 $f(x)$ 的草图如下：令\[\begin{split} h(x)&=f(4-x),x\geqslant 2,\\F(x)&=f(x)-h(x)=\dfrac {x-1}{\mathrm e^x}-\dfrac {3-x}{\mathrm e^{4-x}},x\geqslant 2\end{split}\]则$$F'(x)=(2-x)\left(\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{x-4}\right )\geqslant 0,$$所以 $F(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上单调递增，而 $F(2)=0$，所以 $F(x)\geqslant 0$，即$$f(x)>h(x)=f(4-x).$$不妨设 $x_1<x_2$，则有 $x_1<2<x_2$，于是$$f(x_2)=f(x_1)=h(4-x_1)<f(4-x_1),$$而 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上单调递减，所以 $x_2>4-x_1$，即 $x_1+x_2>4$．