题目 已知函数 $f(x)=\dfrac {1-x}{1+x^2}{\mathrm{e}^x}$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值； 答案1 单调递增区间为 $(-\infty,0)$，单调递减区间为 $(0,+\infty)$，有极大值 $f(0)=-1$ 解析1 对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=-\dfrac {x(x^2-2x+3)}{(x^2+1)^2}{\rm e}^x,$$于是 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=0$ 处有极大值 $f(0)=-1$，无极小值． 备注1 问题2 若 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2<0$． 答案2 略 解析2 不妨设 $x_1<x_2$，则 $(1)$ 知 $x_1<0<x_2<1$．要证明 $x_1+x_2<0$ 即证明 $x_1<-x_2<0$，也即证明$$f(x_2)=f(x_1)<f(-x_2),$$所以构造函数$$g(x)=f(x)-f(-x),x>0,$$证明 $g(x)<0$ 即可．因为$$\begin{split} g'(x)=&f'(x)+f'(-x)\\=&-\dfrac x{(x+1)^2}[(x^2-2x+3){\rm e}^x-(x^2+2x+3){\rm e}^{-x}],\end{split} $$令$$h(x)=(x^2-2x+3){\rm e}^x-(x^2+2x+3){\rm e}^{-x},x>0$$则有$$h(0)=0,h'(x)=(x^2+1)({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})>0,$$所以 $h(x)>0$，从而有 $g'(x)<0$，因为 $g(0)=0$，所以 $g(x)<0$，命题得证． 备注2 对于已知 $f(x_1)=f(x_2)$，证明 $x_1+x_2>m$ 时，尝试构造函数$$g(x)=f(m-x),x\geqslant \dfrac m2,$$比较 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小关系，再通过$$f(x_2)=f(x_1)=g(m-x_1)$$以及“$g(m-x_1)$ 与 $f(m-x_1)$ 的大小关系”得到 $f(m-x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小关系，最终得到 $m-x_1$ 与 $x_2$ 的大小关系，得到结论．<br/>每日一题[389]桥梁函数的练习．