已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-x$，若 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2<0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $f(x)$ 求导得 $f'(x)={\rm e}^x-1$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减，在 $(0,+\infty)$ 单调递增．不妨设 $x_1<x_2$，则有 $x_1<0<x_2$．要证明 $x_1<-x_2<0$，即证明 $f(x_2)=f(x_1)>f(-x_2)$ 成立，从而构造 $g(x)=f(x)-f(-x),x>0$，证明 $g(x)>0$ 恒成立即可．
因为$$g'(x)=f'(x)+f'(-x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\geqslant 0,$$所以 $g(x)$ 单调递增，又因为 $g(0)=0$，所以 $g(x)>0$，不等式得证．
因为$$g'(x)=f'(x)+f'(-x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\geqslant 0,$$所以 $g(x)$ 单调递增，又因为 $g(0)=0$，所以 $g(x)>0$，不等式得证．
答案
解析
备注
