已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac 12ax^2+(a-1)x-\dfrac {3}{2a}(a>3)$，若 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2>2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac 1x-ax+a-1=\dfrac{(ax+1)(1-x)}{x},$$所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．不妨设 $x_1<x_2$，则有 $0<x_1<1<x_2$，若 $x_2\geqslant 2$，则不等式一定成立，只需要考虑 $x_2<2$ 的情况，此时要证不等式即 $2-x_2<x_1<1$，所以证明 $f(2-x_2)<f(x_1)=f(x_2)$ 即可，令$$g(x)=f(x)-f(2-x),x\in(1,2),$$证明 $g(x)>0$ 即可．
因为$$\begin{split} g'(x)=&f'(x)+f'(2-x)\\=&\dfrac{(ax+1)(1-x)}{x}+\dfrac {[a(2-x)+1](x-1)}{2-x}\\=&\dfrac{2(x-1)^2}{x(2-x)}>0,\end{split}$$而 $g(1)=0$，所以不等式得证．
因为$$\begin{split} g'(x)=&f'(x)+f'(2-x)\\=&\dfrac{(ax+1)(1-x)}{x}+\dfrac {[a(2-x)+1](x-1)}{2-x}\\=&\dfrac{2(x-1)^2}{x(2-x)}>0,\end{split}$$而 $g(1)=0$，所以不等式得证．
答案
解析
备注
