已知椭圆 $C:x^2+3y^2=3$，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，直线 $AE$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$．
【难度】
【出处】
2015年高考北京卷（文）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的离心率；标注答案$\dfrac{\sqrt 6}3$解析椭圆 $C$ 的离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 6}3$．
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若 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $BM$ 的斜率；标注答案$1$解析根据题意，设 $A(1,t)$，$B(1,-t)$，$M(3,m)$，则由 $A,E,M$ 三点共线有$$\dfrac{t-1}{1-2}=\dfrac{m-1}{3-2},$$即$$m+t=2.$$从而直线 $BM$ 的斜率为$$\dfrac{m-(-t)}{3-1}=\dfrac{m+t}{2}=1.$$
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试判断直线 $BM$ 与直线 $DE$ 的位置关系，并说明理由．标注答案平行解析直线 $BM$ 与 $DE$ 平行，证明如下．
设 $\overrightarrow {AD}=\lambda \overrightarrow {DB}$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$D\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1 + \lambda y_2}{1+ \lambda}\right)=(1,0),$$于是$$x_1+\lambda x_2=1+\lambda,y_1+\lambda y_2=0.$$由已知，有$$x_1^2+3y_1^2=3,\lambda^2x_2^2+3\lambda^2y_2^2=3\lambda^2,$$两式相减得$$(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)+3(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)=3(1+\lambda)(1-\lambda),$$应用 $D$ 点坐标，可得$$x_1-\lambda x_2=3-3\lambda,$$进而$$x_1=2-\lambda.$$于是$$\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{2-x_1}{3-2}=\lambda,$$根据平行线截割定理的逆定理可知，直线 $DE$ 与直线 $BM$ 平行．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
