设 $A,B,C$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上的三个点，判断四边形 $OABC$ 能否为矩形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当椭圆的离心率不小于 $\dfrac{\sqrt 6}3$ 时，四边形 $OABC$ 可能为矩形
【解析】
设 $A(a\cos\alpha,b\sin\alpha)$，$C(a\cos\beta,b\sin\beta)$，$B(a\cos\alpha+a\cos\beta,b\sin\alpha+b\sin\beta)$，则由 $B$ 在椭圆上有\[\dfrac{(a\cos\alpha+a\cos\beta)^2}{a^2}+\dfrac{\left(b\sin\alpha+b\sin\beta\right)^2}{b^2}=1,\]于是\[\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac 12,\]又 $OA\perp OC$，于是\[a^2\cos\alpha\cos\beta+b^2\sin\alpha\sin\beta=0,\]于是\[\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{b^2}{2(a^2-b^2)},\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{a^2}{2(a^2-b^2)},\]从而\[\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{b^2+a^2}{2(a^2-b^2)}.\]因此当 $a,b$ 满足\[-1\leqslant \dfrac{b^2+a^2}{2(a^2-b^2)}\leqslant 1,\]即 $a^2\geqslant 3b^2$ 时，四边形 $OABC$ 可以为矩形，也即当椭圆的离心率不小于 $\dfrac{\sqrt 6}3$ 时，四边形 $OABC$ 可能为矩形，如图．
答案
解析
备注
