$4$ 个相同的排球，$5$ 个相同的篮球装入 $3$ 个不同的箱子，每箱至少有 $1$ 个球，求不同的装法总数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$228$
【解析】
分为三类：
第一类 $4$ 个排球都在同一个箱子里．此时将 $5$ 个篮球补 $3$ 个“虚拟篮球”，然后在两个没有排球的箱子里各预置 $1$ 个篮球，用隔板法完成篮球数目的分配，最后将每个箱子中的篮球数目都减去 $1$（扣除“虚拟篮球”），这样就得到了$${\rm C}_3^1\cdot {\rm C}_{8-2-1}^2=30$$种不同的装法总数．
第二类 $4$ 个排球装在两个箱子里（不在同一个箱子里）．此时先用隔板法完成排球的分配．接下来将 $5$ 个篮球补 $3$ 个“虚拟篮球”，然后在那个没有排球的箱子里预置 $1$ 个篮球，用隔板法完成篮球数目的分配，最后将每个箱子中的篮球数目都减去 $1$（扣除“虚拟篮球”），这样就得到了$${\rm C}_3^2\cdot {\rm C}_3^1 \cdot {\rm C}_{8-1-1}^2=135$$种不同的装法总数．
第三类 $4$ 个排球分布在三个箱子里．此时用隔板法分别完成排球和篮球的分配．这样就得到了$${\rm C}_3^2 \cdot {\rm C}_{8-1}^2=63$$种不同的装法总数．
因此总共有$$30+135+63=228$$种不同的装法总数．
因此总共有$$30+135+63=228$$种不同的装法总数．
答案
解析
备注
