题目 已知圆柱形水杯质量为 $a$ 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为 $b$ 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处． 问题1 若 $b=3a$，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； 答案1 $\dfrac{7}{{20}}$ 解析1 不妨设水杯高为 $1$，此时水杯质量与水的质量的比为 $2:3$，水杯的重心位置（我们用到水杯底面的距离表示位置）为 $\dfrac12$，水的重心位置为 $\dfrac{1}{4}$，所以装入半杯水的水杯的重心位置为$$\dfrac{{2 \cdot \dfrac{1}{2} + 3 \cdot \dfrac{1}{4}}}{{2 + 3}} = \dfrac{7}{{20}}.$$ 备注1 问题2 水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 答案2 $ \sqrt{{a^2} + ab}-a$ 克 解析2 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上．设装 $x$ 克水．此时水杯质量与水的质量的比为 $a:x$，水杯的重心位置为 $\dfrac12$，水的重心位置为 $\dfrac{x}{2b}$，水面位置为 $\dfrac{x}{b}$，于是$$\dfrac{a\cdot\dfrac12+x\cdot\dfrac{x}{2b}}{a+x}=\dfrac{x}{b},$$解得 $x=\sqrt{{a^2} + ab}-a$． 备注2 也可以直接求重心位置的最值，因为$$y=\dfrac{a\cdot\dfrac12+x\cdot\dfrac{x}{2b}}{a+x}=\dfrac 1{2b}\left(x+a+\dfrac {a^2+ab}{x+a}-2a\right)\geqslant \dfrac 1{2b}(2\sqrt{a^2+ab}-2a),$$所以当 $x=\sqrt{a^2+ab}-a$ 时，$y$ 有最小值．