已知 $0.301029<\lg 2<0.301030$，$0.477120<\lg 3<0.477121$，求 $2000^{1979}$ 的首位数字．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
利用常用对数，我们可以方便的把一个方幂写成科学记数法形式的约数．比如由于 $\lg 12^{34}\approx 36.692162$，于是$$12^{34}\approx 4.922235\times 10^{36},$$其中 $4.922235$ 是反查对数表得到的．
这个方法当然可以用来估计首位了，下面我们就试试看．
显然 $2000^{1979}$ 的首位即 $2^{1979}$ 的首位．
由于$$2^{1979}=10^{1979\lg 2}\approx 10^{595.73836}=10^{0.73836}\times 10^{595},$$其中 $10^{0.73836}$ 为 $(1,10)$ 内的小数，$596$ 是 $2^{1979}$ 的位数．又由于$$1-\lg 2=\lg 5<0.73836<\lg 6=\lg 2+\lg 3,$$于是$$5<10^{\{1979\lg 2\}}<6.$$因此 $2^{1979}$ 的首位为 $5$，也即 ${2000}^{1979}$ 的首位是 $5$．
这个方法当然可以用来估计首位了，下面我们就试试看．
显然 $2000^{1979}$ 的首位即 $2^{1979}$ 的首位．
由于$$2^{1979}=10^{1979\lg 2}\approx 10^{595.73836}=10^{0.73836}\times 10^{595},$$其中 $10^{0.73836}$ 为 $(1,10)$ 内的小数，$596$ 是 $2^{1979}$ 的位数．又由于$$1-\lg 2=\lg 5<0.73836<\lg 6=\lg 2+\lg 3,$$于是$$5<10^{\{1979\lg 2\}}<6.$$因此 $2^{1979}$ 的首位为 $5$，也即 ${2000}^{1979}$ 的首位是 $5$．
答案
解析
备注
