求函数 $f(x)=\sin x\cdot\left(\sqrt{24+\cos^2x}-\cos x\right)$ 的值域．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[-5,5]$
【解析】
显然函数 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，且关于 $(\pi,0)$ 中心对称，因此只需要考虑函数 $f(x)$ 在 $x\in\left[0,\pi\right]$ 上的取值范围．
当 $x\in\left[0,\pi\right]$ 时，由 $y=\sin x\cdot\left(\sqrt{24+\cos^2x}-\cos x\right)$ 可得$$y\left(\sqrt{24+\cos^2x}+\cos x\right)=24\sin x,$$移项，平方整理得$$y^2=24\sin^2x-2y\sin x\cos x,$$即$$y\sin 2x+12\cos 2x=12-y^2,$$于是$$\left(12-y^2\right)^2\leqslant y^2+12^2,$$解得$$0\leqslant y\leqslant 5.$$结合函数的性质，可得函数 $f(x)$ 的值域为 $[-5,5]$．
当 $x\in\left[0,\pi\right]$ 时，由 $y=\sin x\cdot\left(\sqrt{24+\cos^2x}-\cos x\right)$ 可得$$y\left(\sqrt{24+\cos^2x}+\cos x\right)=24\sin x,$$移项，平方整理得$$y^2=24\sin^2x-2y\sin x\cos x,$$即$$y\sin 2x+12\cos 2x=12-y^2,$$于是$$\left(12-y^2\right)^2\leqslant y^2+12^2,$$解得$$0\leqslant y\leqslant 5.$$结合函数的性质，可得函数 $f(x)$ 的值域为 $[-5,5]$．
答案
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