已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin x\cdot \tan x>x^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记函数 $f(x)=\sin x\cdot \tan x-x^2$，则当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，其导函数\[\begin{split} f'(x)&=\dfrac{2\sin x\cos^2 x+\sin^3 x}{\cos ^2 x}-2x=\sin x\left(\dfrac{1}{\cos^2 x}+1\right)-2x \\ &\geqslant \sin x\cdot \dfrac{2}{\cos x}-2x=2(\tan x -x) >0,\end{split}\]又 $f(0)=0$，于是原不等式得证．
答案
解析
备注
