如图，正方形的边长为 $2$，求阴影部分的面积．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0.5855$
【解析】
如图建系，设 $A(-1,-1)$，$E(0,1)$，$D(-1,1)$，点 $M$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 与 $(x+1)^2+(y+1)^2=4$ 在第二象限的交点，点 $N(1,0)$．
所求阴影部分的面积为$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN},$$其中各个部分均为曲边三角形，很容易计算$$S_{DBC}=4-\pi,S_{ECN}=\dfrac 14S_{DBC}=1-\dfrac{\pi}4,$$于是问题的关键是计算$$S_{DME}=S_{OADE}-S_{OEM}-S_{ADM}-S_{\triangle OAM}.$$联立两个圆的方程，可得 $M\left(\dfrac{1-\sqrt 7}4,\dfrac{1+\sqrt 7}4\right)$，于是$$S_{OADE}=\dfrac 32,S_{\triangle OAM}=\dfrac{\sqrt 7}4.$$设 $\angle MOE=\alpha$，$\angle MAD=\beta$，则可以计算得$$\alpha=\dfrac 12\arcsin\dfrac 34,\beta=\dfrac 12\arcsin\dfrac 9{16},$$因此$$S_{OEM}=\dfrac 12\alpha=\dfrac 14\arcsin\dfrac 34,S_{ADM}=2\beta=\arcsin\dfrac 9{16},$$这样就有$$S_{DME}=\dfrac 32-\dfrac{\sqrt 7}4-\dfrac 14\arcsin\dfrac 34-\arcsin\dfrac 9{16}.$$综上所述，有所求阴影部分面积为$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN}=\dfrac{\sqrt 7}2-\dfrac {3\pi}4+\dfrac 12\arcsin\dfrac 34+2\arcsin\dfrac{9}{16}\approx 0.5855.$$
所求阴影部分的面积为$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN},$$其中各个部分均为曲边三角形，很容易计算$$S_{DBC}=4-\pi,S_{ECN}=\dfrac 14S_{DBC}=1-\dfrac{\pi}4,$$于是问题的关键是计算$$S_{DME}=S_{OADE}-S_{OEM}-S_{ADM}-S_{\triangle OAM}.$$联立两个圆的方程，可得 $M\left(\dfrac{1-\sqrt 7}4,\dfrac{1+\sqrt 7}4\right)$，于是$$S_{OADE}=\dfrac 32,S_{\triangle OAM}=\dfrac{\sqrt 7}4.$$设 $\angle MOE=\alpha$，$\angle MAD=\beta$，则可以计算得$$\alpha=\dfrac 12\arcsin\dfrac 34,\beta=\dfrac 12\arcsin\dfrac 9{16},$$因此$$S_{OEM}=\dfrac 12\alpha=\dfrac 14\arcsin\dfrac 34,S_{ADM}=2\beta=\arcsin\dfrac 9{16},$$这样就有$$S_{DME}=\dfrac 32-\dfrac{\sqrt 7}4-\dfrac 14\arcsin\dfrac 34-\arcsin\dfrac 9{16}.$$综上所述，有所求阴影部分面积为$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN}=\dfrac{\sqrt 7}2-\dfrac {3\pi}4+\dfrac 12\arcsin\dfrac 34+2\arcsin\dfrac{9}{16}\approx 0.5855.$$
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解析
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