已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $\sin A,\cos B,\sin C$ 成等比数列，$\cos A,\sin B,\cos C$ 成等差数列，求 $\cos B$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac 12$
【解析】
根据已知，有$$\begin{cases} \cos^2B=\sin A\cdot \sin C=-\dfrac 12\left[\cos(A+C)-\cos (A-C)\right],\\ 2\sin B=\cos A+\cos C=2\cos\dfrac{A+C}2\cos\dfrac{A-C}2.\end{cases}$$由第二个式子可得$$\cos\dfrac{A-C}2=2\cos\dfrac B2,$$代入第一个式子，有$$\cos^2B=-\dfrac 12\left[-\cos B-\left(8\cos^2\dfrac B2-1\right)\right],$$即$$\cos^2B=\dfrac 52\cos B+\dfrac 32,$$解得$$\cos B=-\dfrac 12.$$
答案
解析
备注
