已知 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{6S}{\sqrt 7}$，其中 $S$ 为 $\triangle ABC$ 的面积，求 $\sin^2A+\sin^2C$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{7}{16},\dfrac 74\right]$
【解析】
很容易求得 $\cos B=\dfrac 34$，于是设 $A=\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac B2+x\right)$，$C=\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac B2-x\right)$，则\[\begin{split} \sin ^2A+\sin ^2C=&\dfrac {1-\cos 2A}{2}+\dfrac {1-\cos 2C}{2}\\=&1+\dfrac 12\cos(B+2x)+\dfrac 12\cos(B-2x)\\=&1+\cos B\cos{2x}\\=&1+\dfrac 34\cos 2x,\end{split}\]其中 $2x=C-A\in\left(B-\pi ,\pi -B\right)$，于是 $\cos 2x$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 34,1\right]$，因此原代数式的取值范围是 $\left(\dfrac{7}{16},\dfrac 74\right]$．
答案
解析
备注
