某一等差数列的 $a_1<0$，$a_{100}\geqslant 74$，$a_{200}<200$，且在区间 $\left(\dfrac 12,5\right)$ 中的项比 $\left[20,\dfrac{49}2\right]$ 中该数列的项少 $2$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2012年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac 34n-1,n\in\mathbb N^*$
【解析】
本题条件很多，如何从众多的条件中抓住一个关键条件作为突破口非常重要．
将等差数列各项对应的点在数轴上表示出来都是等间距的，而题中的两个区间的长度一样，要使得两个长度相同的区间包含的项数相差 $2$，只可能有 $\dfrac 12,5,20,\dfrac{49}2$ 均为数列中的项（注意到 $a_1<0$）．
设数列的公差为 $d$，则这四个数相邻两项之差 $\dfrac 92,15,\dfrac 92$ 均为 $d$ 的整数倍，于是 $\dfrac 32$ 是 $d$ 的整数倍，设 $d=\dfrac 3{2m}$（$m\in\mathbb N^*$）．
根据已知，有$$\begin{cases} a_1<0,\\ a_1+99d\geqslant 74,\\a_1+199d<200,\end{cases}$$不难得到$$\dfrac{74}{99}<d<\dfrac{63}{50},$$从而$$\dfrac{25}{21}<m<\dfrac{297}{148},$$进而 $m=2$，结合不等式组及 $d$ 的形式知 $d=\dfrac 34$．
综上所述，所求的 $a_n=\dfrac 34n-1$．
将等差数列各项对应的点在数轴上表示出来都是等间距的，而题中的两个区间的长度一样，要使得两个长度相同的区间包含的项数相差 $2$，只可能有 $\dfrac 12,5,20,\dfrac{49}2$ 均为数列中的项（注意到 $a_1<0$）．
设数列的公差为 $d$，则这四个数相邻两项之差 $\dfrac 92,15,\dfrac 92$ 均为 $d$ 的整数倍，于是 $\dfrac 32$ 是 $d$ 的整数倍，设 $d=\dfrac 3{2m}$（$m\in\mathbb N^*$）．
根据已知，有$$\begin{cases} a_1<0,\\ a_1+99d\geqslant 74,\\a_1+199d<200,\end{cases}$$不难得到$$\dfrac{74}{99}<d<\dfrac{63}{50},$$从而$$\dfrac{25}{21}<m<\dfrac{297}{148},$$进而 $m=2$，结合不等式组及 $d$ 的形式知 $d=\dfrac 34$．
综上所述，所求的 $a_n=\dfrac 34n-1$．
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解析
备注
