已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right)$（$n\in\mathbb N^*$），$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，求证：$S_n>n-\dfrac 52$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用迭代函数研究数列，可得 $\{a_n\}$ 单调递增，极限为 $1$，如图．
于是可以考虑利用 $1$ 这个不动点优化递推公式，从而探索可能的放缩方式．
根据已知，有$$1-a_{n+1}=1-\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right),$$令 $b_n=1-a_n$，且数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则只需要证明$$T_n<\dfrac 52.$$此时已知条件变为\[b_{n+1}=1-\sin\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}2b_n\right)=1-\cos\left(\dfrac{\pi}2b_n\right)=2\sin^2\left(\dfrac{\pi}4b_n\right)<\dfrac{\pi^2}8\cdot b_n^2\leqslant\dfrac{{\pi}^2}{16}\cdot b_n,\]因此$$T_n<\dfrac{\dfrac 12}{1-\dfrac{\pi^2}{16}}=\dfrac{8}{16-\pi^2}<1.305<\dfrac 52,$$原命题得证．
于是可以考虑利用 $1$ 这个不动点优化递推公式，从而探索可能的放缩方式．根据已知，有$$1-a_{n+1}=1-\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right),$$令 $b_n=1-a_n$，且数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则只需要证明$$T_n<\dfrac 52.$$此时已知条件变为\[b_{n+1}=1-\sin\left(\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}2b_n\right)=1-\cos\left(\dfrac{\pi}2b_n\right)=2\sin^2\left(\dfrac{\pi}4b_n\right)<\dfrac{\pi^2}8\cdot b_n^2\leqslant\dfrac{{\pi}^2}{16}\cdot b_n,\]因此$$T_n<\dfrac{\dfrac 12}{1-\dfrac{\pi^2}{16}}=\dfrac{8}{16-\pi^2}<1.305<\dfrac 52,$$原命题得证．
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备注
