已知正数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}^2=\dfrac 13a_n^2+\dfrac 23a_n$，求证：$$a_1+a_2+\cdots+a_n>n-2.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先考虑不动点方程$$x^2=\dfrac 13x^2+\dfrac 23x,$$解得 $x=0$ 或 $x=1$．于是利用不动点改造递推数列，有$$1-a_{n+1}^2=(1-a_n)\left(1+\dfrac 13a_n\right),$$因此$$0<a_n<1,n\in\mathbb N^*,$$进而$$a_{n+1}^2-a_n^2=\dfrac 23a_n(1-a_n)>0,$$于是数列 $\{a_n\}$ 单调递增趋于 $1$．
欲证不等式即$$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<2,$$考虑用等比放缩．
由改造后的递推公式可得$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}=\dfrac{1+\dfrac 13a_n}{1+a_{n+1}}<\dfrac{1+\dfrac 13a_{n+1}}{1+a_{n+1}}\leqslant \dfrac{1+\dfrac 13a_2}{1+a_2}.$$由于$$a_2^2=\dfrac 13\cdot\dfrac 14+\dfrac 23\cdot\dfrac 12=\dfrac{5}{12}>\left(\dfrac 35\right)^2,$$因此可得$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}<\dfrac 34.$$于是有$$\sum\limits_{i=1}^n(1-a_i)<\dfrac{\dfrac 12}{1-\dfrac 34}=2,$$因此命题得证．
欲证不等式即$$(1-a_1)+(1-a_2)+\cdots+(1-a_n)<2,$$考虑用等比放缩．
由改造后的递推公式可得$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}=\dfrac{1+\dfrac 13a_n}{1+a_{n+1}}<\dfrac{1+\dfrac 13a_{n+1}}{1+a_{n+1}}\leqslant \dfrac{1+\dfrac 13a_2}{1+a_2}.$$由于$$a_2^2=\dfrac 13\cdot\dfrac 14+\dfrac 23\cdot\dfrac 12=\dfrac{5}{12}>\left(\dfrac 35\right)^2,$$因此可得$$\dfrac{1-a_{n+1}}{1-a_n}<\dfrac 34.$$于是有$$\sum\limits_{i=1}^n(1-a_i)<\dfrac{\dfrac 12}{1-\dfrac 34}=2,$$因此命题得证．
答案
解析
备注
