已知在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，$a_p+a_q=a_{p+q}$（$p,q\in\mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=2n$（$n\in\mathbb N^*$）解析令 $p=1$，$q=n$，则有$$\forall n\in\mathbb N^*,a_{n+1}=a_n+a_1=a_n+2,$$于是 $a_n=2n$（$n\in\mathbb N^*$）．
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若数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，$b_{n+1}=\dfrac{a_n}{2b_n}$，求证：$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}\geqslant \sqrt{2a_n}-1.$$标注答案略解析题意即 $b_{n+1}=\dfrac{n}{b_n}$，求证：$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}\geqslant 2\sqrt n-1.$$考虑利用裂项求和，由于$$b_nb_{n+1}=n,b_{n+1}b_{n+2}=n+1,$$于是$$b_{n+1}(b_{n+2}-b_n)=1,$$从而$$\dfrac{1}{b_{n+1}}=b_{n+2}-b_n,$$于是\[\begin{split} \dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}&=1+(b_3-b_1)+(b_4-b_2)+\cdots +(b_{n+1}-b_{n-1}) \\ &=1-b_1-b_2+b_n+b_{n+1}\\ &\geqslant 2\sqrt{b_nb_{n+1}}-1\\ &=2\sqrt{n}-1,\end{split}\]因此不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
