已知 $a,b,c,d$ 均为正实数，求 $\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1,2)$
【解析】
可以利用糖水不等式得到$$\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b+c}>\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b+c+d}=1,$$同时$$\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b+c}<\sum_{cyc}\dfrac{d+a}{a+b+c+d}=2.$$接下来的关键是确认 $1,2$ 是题中代数式的下确界和上确界．
事实上，当 $a,c,d\to 0$ 时，原式趋于 $1$；当 $a,b\to 0$，$c\to +\infty$，$d=1$ 时，原式趋于 $2$．
因此题中代数式的取值范围是 $(1,2)$．
事实上，当 $a,c,d\to 0$ 时，原式趋于 $1$；当 $a,b\to 0$，$c\to +\infty$，$d=1$ 时，原式趋于 $2$．
因此题中代数式的取值范围是 $(1,2)$．
答案
解析
备注
