已知 $a,b\in [0,1]$，求 $S(a,b)=\dfrac a{1+b}+\dfrac b{1+a}+(1-a)(1-b)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{13-5\sqrt 5}2$
【解析】
先进行代数变形，有\[\begin{split} S(a,b)&=\dfrac{a(1+a)+b(1+b)+(1-a^2)(1-b^2)}{(1+a)(1+b)}\\ &=1-\dfrac{ab-a^2b^2}{ab+a+b+1} \\ &\geqslant 1-\dfrac{ab(1-ab)}{ab+2\sqrt{ab}+1}\\ &=1-\dfrac{ab(1-\sqrt{ab})}{1+\sqrt {ab}},\end{split}\]当 $a=b$ 时取到等号．
令 $x=\sqrt{ab}$，则 $x\in [0,1]$，有$$\dfrac{ab(1-\sqrt{ab})}{1+\sqrt {ab}}=\dfrac{x^2-x^3}{1+x},$$记右侧为函数 $f(x)$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{-2x(x^2+x-1)}{(1+x)^2},$$于是当 $x=\dfrac{\sqrt 5-1}2$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值$$f\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)=\dfrac{5\sqrt 5-11}2,$$因此原代数式 $S(a,b)$ 的最小值为 $\dfrac{13-5\sqrt 5}2$，当 $a=b=\dfrac{\sqrt 5-1}2$ 时取到．
令 $x=\sqrt{ab}$，则 $x\in [0,1]$，有$$\dfrac{ab(1-\sqrt{ab})}{1+\sqrt {ab}}=\dfrac{x^2-x^3}{1+x},$$记右侧为函数 $f(x)$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{-2x(x^2+x-1)}{(1+x)^2},$$于是当 $x=\dfrac{\sqrt 5-1}2$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值$$f\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)=\dfrac{5\sqrt 5-11}2,$$因此原代数式 $S(a,b)$ 的最小值为 $\dfrac{13-5\sqrt 5}2$，当 $a=b=\dfrac{\sqrt 5-1}2$ 时取到．
答案
解析
备注
