在 $\triangle{ABC}$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，已知 $8\left(\sin ^2A-\sin ^2 C\right)=(a-b)\sin B$，且 $\triangle{ABC}$ 的外接圆半径是 $4$．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
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求角 $C$；标注答案$\angle{C}=\dfrac {\pi}{3}$解析因为 $\triangle{ABC}$ 的外接圆半径是 $4$，所以由正弦定理可得$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=8,$$即$$a=8\sin A,b=8\sin B.$$因为$$8\left(\sin ^2A-\sin ^2C\right)=(a-b)\sin B,$$所以$$8\left(\sin ^2A-\sin ^2C\right)=(8\sin A-8\sin B)\sin B,$$所以$$a^2-c^2=ab-b^2,$$进而$$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\dfrac 12,$$因为$$0<C<\pi,$$所以$$C=\dfrac{\pi}{3}.$$
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求 $\triangle{ABC}$ 的面积的最大值．标注答案$12\sqrt 3$解析因为$$C=\dfrac {\pi}{3},$$所以$$c=8\sin C=4\sqrt 3.$$因为$$a^2-c^2=ab-b^2,$$所以$$ab=a^2+b^2-48\geqslant 2ab-48,$$所以$$0<ab\leqslant 48,$$所以$$S_{\triangle{ABC}}=\dfrac 12 ab\sin C\leqslant 12\sqrt 3,$$当且仅当 $a=b=4\sqrt 3$ 时，$S_{\triangle{ABC}}$ 取得最大值 $12\sqrt 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
