设函数 $f(x)=2ax^2+bx-3a+1$，当 $x\in [-4,4]$ 时，不等式 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立，求 $5a+b$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 13,2\right]$
【解析】
根据题意，有$$\forall x\in [-4,4],(2x^2-3)\cdot a+x\cdot b+1\geqslant 0.$$令 $2x^2-3=5x$，解得$$x=-\dfrac 12\lor x=3.$$由于 $-\dfrac 12,3\in [-4,4]$，可得$$-\dfrac 12(5a+b)+1\geqslant 0,3(5a+b)+1\geqslant 0,$$即$$-\dfrac 13\leqslant 5a+b\leqslant 2.$$接下来我们证明 $5a+b$ 可以取得 $-\dfrac 13$ 以及 $2$．
令 $b=-\dfrac 13-5a$，可得$$\Delta=b^2+24a^2-8a=\left(7a-\dfrac 13\right)^2,$$于是当 $a=\dfrac 1{21}$，$b=-\dfrac 47$ 时，$\Delta=0$，符合题意；
当 $b=2-5a$，可得$$\Delta=b^2+24a^2-8a=(7a-2)^2,$$于是当 $a=\dfrac 27$，$b=\dfrac 47$ 时，$\Delta=0$，符合题意．
结合连续性可知，$5a+b$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 13,2\right]$．
令 $b=-\dfrac 13-5a$，可得$$\Delta=b^2+24a^2-8a=\left(7a-\dfrac 13\right)^2,$$于是当 $a=\dfrac 1{21}$，$b=-\dfrac 47$ 时，$\Delta=0$，符合题意；
当 $b=2-5a$，可得$$\Delta=b^2+24a^2-8a=(7a-2)^2,$$于是当 $a=\dfrac 27$，$b=\dfrac 47$ 时，$\Delta=0$，符合题意．
结合连续性可知，$5a+b$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 13,2\right]$．
答案
解析
备注
