已知 $x,y,z>0$，且 $\sqrt{\dfrac{1-x}{yz}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{zx}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{xy}}=2$，求 $xyz$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{27}{64}$
【解析】
等式两边同时乘以 $\sqrt{xyz}$，那么代数式的元就集中了，可以考虑用均值不等式去掉根号．猜想 $x=y=z$ 时取得最大值，此时有 $x=y=z=\dfrac 34$，利用均值不等式的时候需要调整一下．
根据已知，有$$2\sqrt{xyz}=\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)},$$即$$\dfrac{2}{\sqrt 3}\sqrt{xyz}=\sqrt{\dfrac x3\cdot (1-x)}+\sqrt{\dfrac y3\cdot (1-y)}+\sqrt{\dfrac z3\cdot (1-z)}.$$应用均值不等式，有$$RHS\leqslant \dfrac{3-\dfrac 23(x+y+z)}2\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$这样就得到了关于 $xyz$ 的不等式$$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$即$$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}+(xyz)^{\frac 13}\leqslant \dfrac 32,$$注意到左侧关于 $xyz$ 单调递增，因此有$$xyz\leqslant \dfrac{27}{64},$$等号当且仅当 $x=y=z=\dfrac 34$ 时取得．
根据已知，有$$2\sqrt{xyz}=\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{y(1-y)}+\sqrt{z(1-z)},$$即$$\dfrac{2}{\sqrt 3}\sqrt{xyz}=\sqrt{\dfrac x3\cdot (1-x)}+\sqrt{\dfrac y3\cdot (1-y)}+\sqrt{\dfrac z3\cdot (1-z)}.$$应用均值不等式，有$$RHS\leqslant \dfrac{3-\dfrac 23(x+y+z)}2\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$这样就得到了关于 $xyz$ 的不等式$$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}\leqslant \dfrac 32-(xyz)^{\frac 13},$$即$$\dfrac 2{\sqrt 3}\cdot (xyz)^{\frac 12}+(xyz)^{\frac 13}\leqslant \dfrac 32,$$注意到左侧关于 $xyz$ 单调递增，因此有$$xyz\leqslant \dfrac{27}{64},$$等号当且仅当 $x=y=z=\dfrac 34$ 时取得．
答案
解析
备注
