已知 $x,y\geqslant 0$，且 $(1+x)(1+y)=2$，求证：$\sqrt{1+x^2}\cdot \sqrt{1+y^2}\geqslant 4-2\sqrt 2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
条件即$$x+y+xy=1.$$联想到三角恒等式$$\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2+\tan\dfrac B2\tan\dfrac C2+\tan\dfrac C2\tan\dfrac A2=1,$$其中 $A,B,C$ 为三角形 $ABC$ 的三个内角．
因此可以取 $C=\dfrac{\pi}2$，$x=\tan\dfrac A2$，$y=\tan\dfrac B2$，且 $A+B=\dfrac{\pi }2$，于是$$LHS=\dfrac{1}{\cos\dfrac A2\cdot\cos\dfrac B2}=\dfrac{2}{\cos\dfrac{A+B}2+\cos\dfrac{A-B}2}\geqslant \dfrac{2}{\cos\dfrac{\pi}4+1}=4-2\sqrt 2,$$因此原命题得证．
因此可以取 $C=\dfrac{\pi}2$，$x=\tan\dfrac A2$，$y=\tan\dfrac B2$，且 $A+B=\dfrac{\pi }2$，于是$$LHS=\dfrac{1}{\cos\dfrac A2\cdot\cos\dfrac B2}=\dfrac{2}{\cos\dfrac{A+B}2+\cos\dfrac{A-B}2}\geqslant \dfrac{2}{\cos\dfrac{\pi}4+1}=4-2\sqrt 2,$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
