已知 $\ln a-\ln 3=\ln c$，$bd=-3$，求 $(a-b)^2+(c-d)^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{18}5$
【解析】
根据已知，有 $a=3c$ 且 $c>0$，于是\[\begin{split} (a-b)^2+(c-d)^2&=\left(3c+\dfrac 3d\right)^2+(c-d)^2 \\ &=10c^2+\left(\dfrac{18}d-2d\right)c+\dfrac{9}{d^2}+d^2 \\ &=10\left[c+\dfrac 1{10}\left(\dfrac 9d-d\right)\right]^2+\dfrac{9}{10}\left(d^2+\dfrac{1}{d^2}\right)+\dfrac 95\\&\geqslant \dfrac{18}5,\end{split}\]等号当$$\begin{cases} c+\dfrac 1{10}\left(\dfrac 9d-d\right)=0,\\ d^2=1,\\ c>0\end{cases}$$时，也即 $d=-1$，$c=\dfrac 45$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $\dfrac{18}5$．
答案
解析
备注
