设 $P-ABCD$ 是一个高为 $3$，底面边长为 $2$ 的正四棱锥，$M$ 是棱 $PC$ 的中点，过 $AM$ 作平面与线段 $PB,PD$ 分别交于 $E,F$（可以是线段的端点）．试求四棱锥 $P-AEMF$ 的体积的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 43,\dfrac 32\right]$
【解析】
注意到 $A,M$ 为定点，于是有$$V_{P-AEMF}=V_{A-PEF}+V_{M-PEF}=\dfrac 13\cdot \dfrac 32AH\cdot S_{\triangle PEF},$$因此只需要考虑 $S_{\triangle PFE}$ 的取值范围．
根据题意，$AM$ 与 $PH$ 的交点 $G$ 为 $\triangle PAC$ 的重心，也为 $\triangle PBD$ 的重心．设 $\overrightarrow {PF}=\lambda \overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PE}=\mu \overrightarrow{PB}$，其中 $\lambda,\mu\in (0,1]$，则$$S_{\triangle PFE}=\lambda \mu S_{\triangle PBD},$$由向量知识不难得到 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}=3$，因此 $\lambda\mu$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 49,\dfrac 12\right]$，进而 $V_{P-AEMF}$ 的取值范围是$$\left[\dfrac 29\cdot AH\cdot S_{\triangle PBD},\dfrac 14\cdot AH\cdot S_{\triangle PBD}\right].$$考虑到 $V_{P-ABCD}=\dfrac 23 AH\cdot S_{\triangle PBD}=4$，于是$$AH\cdot S_{\triangle PBD}=6,$$所求的取值范围为 $\left[\dfrac 43,\dfrac 32\right]$．
根据题意，$AM$ 与 $PH$ 的交点 $G$ 为 $\triangle PAC$ 的重心，也为 $\triangle PBD$ 的重心．设 $\overrightarrow {PF}=\lambda \overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{PE}=\mu \overrightarrow{PB}$，其中 $\lambda,\mu\in (0,1]$，则$$S_{\triangle PFE}=\lambda \mu S_{\triangle PBD},$$由向量知识不难得到 $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{\mu}=3$，因此 $\lambda\mu$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 49,\dfrac 12\right]$，进而 $V_{P-AEMF}$ 的取值范围是$$\left[\dfrac 29\cdot AH\cdot S_{\triangle PBD},\dfrac 14\cdot AH\cdot S_{\triangle PBD}\right].$$考虑到 $V_{P-ABCD}=\dfrac 23 AH\cdot S_{\triangle PBD}=4$，于是$$AH\cdot S_{\triangle PBD}=6,$$所求的取值范围为 $\left[\dfrac 43,\dfrac 32\right]$．
答案
解析
备注
