一个正四面体的四个顶点到同一平面的距离分别为 $0,1,2,3$，求正四面体的棱长．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt{10},2\sqrt 5,\sqrt{26},2\sqrt 7$
【解析】
设正四面体为 $ABCD$，且 $D,A,B,C$ 到平面 $\alpha$ 的距离分别为 $0,1,2,3$．分别记 $\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$ 为 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\overrightarrow n$，且有 $\overrightarrow a,\overrightarrow n$ 的模分别为 $t,s$．考虑到$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow c=t^2,$$且$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=\dfrac 12t^2,$$因此设 $\overrightarrow n=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+ z\overrightarrow c$，则有$$s=t\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}.$$根据 $A,B,C$ 到平面 $\alpha$ 的距离分别为 $1,2,3$，可得$$\begin{cases} \overrightarrow a\cdot \overrightarrow n = \lambda_1 s,\\ \overrightarrow b\cdot \overrightarrow n = \lambda_2 s,\\ \overrightarrow c\cdot \overrightarrow n = \lambda_3 s,\end{cases}$$其中 $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ 有四种可能$$(1,2,3),(-1,2,3),(1,-2,3),(1,2,-3).$$上述方程组即$$\begin{pmatrix}2&1&1 \\ 1&2&1 \\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \\ z\end{pmatrix}=\dfrac{s}{t^2}\begin{pmatrix}2\lambda_1\\ 2\lambda_2 \\ 2\lambda_3\end{pmatrix},$$这样就可以解得$$\dfrac{t^2}{s}(x,y,z)=(-1,1,3),(-4,2,4),(1,-5,5),(2,4,-6),$$进而可以求得$$t=\sqrt{10},\sqrt{20},\sqrt{26},\sqrt{28},$$即$$t=\sqrt{10},2\sqrt 5,\sqrt{26},2\sqrt 7,$$于是正四面体的棱长为 $\sqrt{10},2\sqrt 5,\sqrt{26},2\sqrt 7$．
答案
解析
备注
