求证：若正方体的一个顶点在平面 $\alpha$ 内，其余各顶点在平面 $\alpha$ 的同侧，那么与该顶点相邻的三个顶点到平面 $\alpha$ 的距离的平方和为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
以正方体在平面 $\alpha$ 内的顶点为坐标原点，与该顶点相邻的三条边所在方向为坐标轴建立空间直角坐标系，则与该顶点相邻的三个顶点的坐标分别为 $(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a)$（其中 $a$ 为正方体的棱长），设平面的单位法向量为 $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，则与原点相邻的三个顶点到平面 $\alpha$ 的距离的平方和为$$(\overrightarrow{n}\cdot(a,0,0))^2+(\overrightarrow{n}\cdot(0,a,0))^2+(\overrightarrow{n}\cdot(0,0,a))^2=(x^2+y^2+z^2)a^2=a^2.$$命题得证，且定值为正方体棱长的平方．
答案
解析
备注
