已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-a\left({\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x\right)+4$ 无零点，求正实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(4,+\infty)$
【解析】
这是一个很好分离变量的零点问题，先尝试分离变量，有$$a=\dfrac{\ln (x+1)+4}{{\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x},$$右侧函数（设为 $g(x)$）求导后的分子部分为$$\dfrac{1}{1+x}\cdot\left({\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x\right)-\left[\ln (x+1)+4\right]\cdot \left(\dfrac 12{\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14\right),$$容易发现 $x=0$ 为其零点，于是推测 $g(0)=4$ 是右侧函数的一个极值．注意到函数 $y=\ln (x+1)+4$ 是上凸函数，函数 $y={\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x$ 是下凸函数，因此所求的取值范围应该是 $a>4$，如图所示．
接下来强硬的研究 $g(x)$ 可能会比较困难，因此考虑用“不战而屈人之兵”的方式表达．
考虑到 $f(0)=4-a$，因此 $a>4$，否则 $f(0)\geqslant 0$，而当 $x\to -1+$（即从大于 $-1$ 的方向逐渐趋于 $-1$）时，$f(x)\to -\infty$（严格意义上的证明需要取点，如取 $x_0=-1+\mathrm{e}^{-4}$，证明 $f(x_0)<0$．也可以利用 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$，此时要注意利用$${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^t(x-t)+{\rm e}^t,t\in\mathbb R$$进行放缩后再取点．）
下面证明当 $a>4$ 时符合题意．
此时有$$f(x)<\ln (x+1)-4\left({\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x\right)+4,$$这里用到了$$\forall x\in \mathbb R,{\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x>0.$$设右侧函数为 $h(x)$，则 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=\dfrac{1}{x+1}-2{\rm e}^{\frac x2}+1$$是一个单调递减函数，而 $h'(0)=0$，于是 $h(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值 $h(0)=0$，因此 $h(x)\leqslant 0$，从而 $f(x)<0$，于是 $f(x)$ 没有零点，符合题意．
接下来强硬的研究 $g(x)$ 可能会比较困难，因此考虑用“不战而屈人之兵”的方式表达．考虑到 $f(0)=4-a$，因此 $a>4$，否则 $f(0)\geqslant 0$，而当 $x\to -1+$（即从大于 $-1$ 的方向逐渐趋于 $-1$）时，$f(x)\to -\infty$（严格意义上的证明需要取点，如取 $x_0=-1+\mathrm{e}^{-4}$，证明 $f(x_0)<0$．也可以利用 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to -\infty$，此时要注意利用$${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^t(x-t)+{\rm e}^t,t\in\mathbb R$$进行放缩后再取点．）
下面证明当 $a>4$ 时符合题意．
此时有$$f(x)<\ln (x+1)-4\left({\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x\right)+4,$$这里用到了$$\forall x\in \mathbb R,{\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x>0.$$设右侧函数为 $h(x)$，则 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=\dfrac{1}{x+1}-2{\rm e}^{\frac x2}+1$$是一个单调递减函数，而 $h'(0)=0$，于是 $h(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值 $h(0)=0$，因此 $h(x)\leqslant 0$，从而 $f(x)<0$，于是 $f(x)$ 没有零点，符合题意．
答案
解析
备注
