函数 $f(x)={\rm e}^{x-1}+\dfrac 13x^3-\dfrac 12x^2-\ln x-a$，若函数 $f(x)$ 与函数 $f(f(x))$ 有相同值域，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^{x-1}+x^2-x-\dfrac 1x,\]该函数的导函数\[f''(x)={\rm e}^{x-1}+2x+\dfrac 1{x^2}-1>0,\]于是 $f'(x)$ 单调递增，因此 $f'(x)$ 有唯一零点 $x=1$，进而\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\ \hline
f(x)&\searrow&\dfrac 56-a&\nearrow\\ \hline
\end{array}\]函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[\dfrac 56-a,+\infty\right)$．考虑到函数 $f(x)$ 与函数 $f(f(x))$ 的值域相同，于是\[\dfrac 56-a\leqslant 1,\]解得\[a\geqslant -\dfrac 16.\]
x&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\ \hline
f(x)&\searrow&\dfrac 56-a&\nearrow\\ \hline
\end{array}\]函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[\dfrac 56-a,+\infty\right)$．考虑到函数 $f(x)$ 与函数 $f(f(x))$ 的值域相同，于是\[\dfrac 56-a\leqslant 1,\]解得\[a\geqslant -\dfrac 16.\]
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