已知四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长都是 $1$，$\angle A_1AD=60^\circ$．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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求此四棱柱体积的最大值；标注答案$\dfrac{\sqrt3}{2}$解析由四棱柱的棱长为 $1$，则$$V=S_{AA'D'D}\cdot d_{B-AA'D'D}=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sin\varphi,$$其中 $\varphi$ 为 $BA$ 与面 $AA'D'D$ 所成角，因此，当 $BA\perp AA'D'D$ 时，体积最大，为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$．
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若 $AB\perp AD$，$\angle A_1AB=60^\circ$，求 $BD_1$ 与 $A_1D$ 所成角的余弦值．标注答案$\dfrac{\sqrt3}{6}$解析以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}$ 为基底，则\[\begin{split}\left|\overrightarrow{BD_1}\right|&=\sqrt{\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB}\right)^2}=\sqrt3,\\\left|\overrightarrow{A_1D}\right|&=\sqrt{\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_1}\right)^2}=1,\end{split}\]所以$$\cos\left\langle\overrightarrow{BD_1},\overrightarrow{AD}\right\rangle=\dfrac{\overrightarrow{BD_1}\cdot\overrightarrow{AD}}{\left|\overrightarrow{BD_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AD}\right|}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$$所以 $BD_1$ 与 $A_1D$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt3}{6}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
