已知 $a,b,c$ 是三角形的三条边之长，$a^k+b^k=c^k$，求证：$k<0$ 或 $k>1$．
【难度】
【出处】
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学科目试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $f(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x$．
若 $c$ 不为最大边，则由\[f(k)=\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k=1\]得\[\left(\dfrac ac\right)^k<1\land \left(\dfrac bc\right)^k<1,\]而 $\dfrac ac,\dfrac bc$ 至少有一个大于 $1$，因此 $k<0$，且 $c$ 为最小边．
若 $c$ 为最大边，则 $\dfrac ac,\dfrac bc\in (0,1]$．当 $\dfrac ac$ 与 $\dfrac bc $ 至少有一个为 $1$ 时，\[f(k)=\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k>1,\]与 $f(k)=1$ 矛盾，故而 $\dfrac ac,\dfrac bc\in (0,1)$，所以 $f(x)$ 为单调递减函数．又\[f(1)=\dfrac ac+\dfrac bc>1=f(k),\]于是 $k>1$．
综上，原命题得证．
若 $c$ 不为最大边，则由\[f(k)=\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k=1\]得\[\left(\dfrac ac\right)^k<1\land \left(\dfrac bc\right)^k<1,\]而 $\dfrac ac,\dfrac bc$ 至少有一个大于 $1$，因此 $k<0$，且 $c$ 为最小边．
若 $c$ 为最大边，则 $\dfrac ac,\dfrac bc\in (0,1]$．当 $\dfrac ac$ 与 $\dfrac bc $ 至少有一个为 $1$ 时，\[f(k)=\left(\dfrac ac\right)^k+\left(\dfrac bc\right)^k>1,\]与 $f(k)=1$ 矛盾，故而 $\dfrac ac,\dfrac bc\in (0,1)$，所以 $f(x)$ 为单调递减函数．又\[f(1)=\dfrac ac+\dfrac bc>1=f(k),\]于是 $k>1$．
综上，原命题得证．
答案
解析
备注
