设实数 $a,b$ 使得方程 $ax^3-x^2+bx-1=0$ 有三个正实根，对于所有满足条件的实数 $a,b$，求 $p=\dfrac{5a^2-3ab+2}{a^2\left(b-a\right)}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$12\sqrt{3}$
【解析】
设方程 $ax^3-x^2+bx-1=0$ 的三个正实根分别为 $x_1,x_2,x_3$，则\[\begin{align*}
x_1+x_2+x_3&=\dfrac{1}{a},\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=\dfrac{b}{a},\\
x_1x_2x_3&=\dfrac{1}{a},
\end{align*}\]故 $a>0$，$b>0$．因为\[
x_1+x_2+x_3\geqslant 3\sqrt[3]{x_1x_2x_3},
\]所以 $a \leqslant \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$．因为\[
\left(x_1+x_2+x_3\right)^2 \geqslant 3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right),
\]所以 $b \leqslant \dfrac{1}{3a}$．因为\[
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 \geqslant 3\sqrt[3]{\left(x_1x_2x_3\right)^2},
\]所以 $b \geqslant 3\sqrt[3]{a}$．因此$$5a^2-3ab+2 \geqslant 5a^2+1,$$且$$0<a^2\left(b-a\right) \leqslant \dfrac{a}{3}-a^3,$$故$$p=\dfrac{5a^2-3ab+2}{a^2\left(b^2-a\right)}\geqslant \dfrac{3\left(5a^2+1\right)}{a-3a^3}.$$令 $f(a)=\dfrac{5a^2+1}{a-3a^3} \left(0<a\leqslant \dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right)$，则$$f'(a)=\dfrac{15a^4-3a^3+14a^2+a-1}{\left(a-3a^3\right)^2}.$$因为\[
15a^4+14a^2+a\leqslant \dfrac{15}{\left(3\sqrt{3}\right)^4}+\dfrac{14}{\left(3\sqrt{3}\right)^2}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}}
<1<3a^3+1,
\]所以 $f'(a)<0$，故 $f(a)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right]$ 上单调递减，因此$$p \geqslant 3f\left(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right)=12\sqrt{3},$$当且仅当\[
\left(a,b,x_1,x_2,x_3\right)=\left(\dfrac{1}{3\sqrt{3}},\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}\right)
\]时等号成立，所以 $p$ 的最小值为 $12\sqrt{3}$．
x_1+x_2+x_3&=\dfrac{1}{a},\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=\dfrac{b}{a},\\
x_1x_2x_3&=\dfrac{1}{a},
\end{align*}\]故 $a>0$，$b>0$．因为\[
x_1+x_2+x_3\geqslant 3\sqrt[3]{x_1x_2x_3},
\]所以 $a \leqslant \dfrac{1}{3\sqrt{3}}$．因为\[
\left(x_1+x_2+x_3\right)^2 \geqslant 3\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right),
\]所以 $b \leqslant \dfrac{1}{3a}$．因为\[
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1 \geqslant 3\sqrt[3]{\left(x_1x_2x_3\right)^2},
\]所以 $b \geqslant 3\sqrt[3]{a}$．因此$$5a^2-3ab+2 \geqslant 5a^2+1,$$且$$0<a^2\left(b-a\right) \leqslant \dfrac{a}{3}-a^3,$$故$$p=\dfrac{5a^2-3ab+2}{a^2\left(b^2-a\right)}\geqslant \dfrac{3\left(5a^2+1\right)}{a-3a^3}.$$令 $f(a)=\dfrac{5a^2+1}{a-3a^3} \left(0<a\leqslant \dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right)$，则$$f'(a)=\dfrac{15a^4-3a^3+14a^2+a-1}{\left(a-3a^3\right)^2}.$$因为\[
15a^4+14a^2+a\leqslant \dfrac{15}{\left(3\sqrt{3}\right)^4}+\dfrac{14}{\left(3\sqrt{3}\right)^2}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}}
<1<3a^3+1,
\]所以 $f'(a)<0$，故 $f(a)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right]$ 上单调递减，因此$$p \geqslant 3f\left(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\right)=12\sqrt{3},$$当且仅当\[
\left(a,b,x_1,x_2,x_3\right)=\left(\dfrac{1}{3\sqrt{3}},\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}\right)
\]时等号成立，所以 $p$ 的最小值为 $12\sqrt{3}$．
答案
解析
备注
