已知函数 $f(x)=\dfrac{(x-a)^2}{x}$．若对于任意 $x<0$，都有 $f(x)<2a^2-6$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup (1,+\infty)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{(x+a)(x-a)}{x^2}.$$情形一 若 $a=0$，显然不合题意．
情形二 若 $a>0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,-a)$ 上单调递增，在 $(-a,0)$ 上单调递减，所以只需\[f(-a)=-4a<2a^2-6,\]解得 $a>1$．
情形三 若 $a<0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,a)$ 上单调递增，在 $(a,0)$ 上单调递减，所以只需\[f(a)=0<2a^2-6,\]解得 $a<-\sqrt{3}$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup (1,+\infty)$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup (1,+\infty)$．
答案
解析
备注
