已知函数 $f(x)=\dfrac{(x-a)^2}{x}$．若对于任意 $x<0$，都有 $f(x)<2a^2-6$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup (1,+\infty)$
【解析】
原问题即\[\forall x<0,(x-a)^2>\left(2a^2-6\right)x,\]也即\[\forall x<0,x^2-\left(2a^2+2a-6\right)x+a^2>0.\]考虑问题的反面，研究关于 $x$ 的方程\[x^2-\left(2a^2+2a-6\right)x+a^2=0\]何时有负实根．右侧关于 $x$ 的二次式的判别式$$\Delta=\left(2a^2+2a-6\right)^2-4a^2=4(a^2-3)(a+3)(a-1),$$于是当 $\Delta\geqslant 0$，且 $a^2+a-3<0$ 时方程有负根，即当 $a\in\left[-\sqrt 3,1\right]$ 时满足条件．
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup (1,+\infty)$．
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup (1,+\infty)$．
答案
解析
备注
