若存在正实数 $m$，使得关于 $x$ 的方程 $x+2a(x+m-2{\rm e}x)\left[\ln(x+m)-\ln x\right]=0$ 有两个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据题意，有\[\left(1+\dfrac mx-2{\rm e}\right)\cdot \ln\left(1+\dfrac mx\right)=-\dfrac{1}{2a},\]设 $t=1+\dfrac mx$，则 $t>1$，问题转化为函数\[\varphi(t)=(t-2{\rm e})\cdot \ln t,\]与 $y=-\dfrac{1}{2a}$ 在区间 $t\in (1,+\infty)$ 上有两个公共点．函数 $\varphi(t)$ 的导数\[\varphi'(t)=\ln t+1-\dfrac{2{\rm e}}t,\]因此\[\begin{array} {c|ccc}\hline
x&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)\\ \hline
\varphi'(t)&-&0&+\\ \hline
\varphi(t)&\searrow & {\rm lmin}=-{\rm e}&\nearrow\\ \hline \end{array}\]考虑到\[\varphi(1)=0,\lim_{t\to+\infty}\varphi(t)=+\infty,\]于是\[-{\rm e}<-\dfrac{1}{2a}<0,\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$．
x&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)\\ \hline
\varphi'(t)&-&0&+\\ \hline
\varphi(t)&\searrow & {\rm lmin}=-{\rm e}&\nearrow\\ \hline \end{array}\]考虑到\[\varphi(1)=0,\lim_{t\to+\infty}\varphi(t)=+\infty,\]于是\[-{\rm e}<-\dfrac{1}{2a}<0,\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$．
题目
答案
解析
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