题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$，其中 $a\in \mathbb{R}$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 当 $a<0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $\left(-\infty,\dfrac{1}{a}\right)$ 和 $(-a,+\infty)$，单调减区间为 $\left(\dfrac{1}{a},-a\right)$；<br/>当 $a=0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $(0,+\infty)$，单调减区间为 $(-\infty,0)$；<br/>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $\left(-a,\dfrac{1}{a}\right)$，单调减区间为 $(-\infty,-a)$ 和 $\left(\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{-2(x+a)(ax-1)}{\left(x^2+1\right)^2}.$$若 $a=0$，则 $f(x)$ 的单调增区间为 $(0,+\infty)$，单调减区间为 $(-\infty,0)$．<br/><case>情形一</case>当 $a<0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $\left(-\infty,\dfrac{1}{a}\right)$ 和 $(-a,+\infty)$，单调减区间为 $\left(\dfrac{1}{a},-a\right)$；<br/><case>情形二</case>当 $a=0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $(0,+\infty)$，单调减区间为 $(-\infty,0)$；<br/><case>情形三</case>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $\left(-a,\dfrac{1}{a}\right)$，单调减区间为 $(-\infty,-a)$ 和 $\left(\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 备注1 问题2 若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在最大值和最小值，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $(-\infty,-1]\cup (0,1]$ 解析2 <case>情形一</case>若 $a=0$，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，不合题意．<br/><case>情形二</case>若 $a>0$，则 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{1}{a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 上单调递减，<br/>故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在最大值 $f \left(\dfrac{1}{a}\right)$．<br/>由于\[<br/>\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,<br/>\]所以若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在最小值，只需$$f(0)=a^2-1\leqslant 0,$$解得 $-1 \leqslant a \leqslant 1$．因此 $a\in (0,1]$．<br/><case>情形三</case>若 $a<0$，则 $f(x)$ 在 $\left[0,-a\right)$ 上单调递减，在 $(-a,+\infty)$ 上单调递增，故 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在最小值 $f \left(-a\right)$．<br/>由于\[<br/>\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,<br/>\]所以若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在最大值，只需 $f(0)=a^2-1\geqslant 0$，解得 $a \geqslant 1$ 或 $a \leqslant -1$．因此 $a\in (-\infty,-1]$．<br/>综上所述，若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在最大值和最小值，则 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1]\cup (0,1]$． 备注2