在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左顶点为 $A$，右焦点为 $F$．$P,Q$ 为椭圆 $C$ 上两点，圆 $O:x^2+y^2=r^2 (r>0)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $PF\perp x$ 轴，且满足直线 $AP$ 与圆 $O$ 相切，求圆 $O$ 的方程；标注答案$x^2+y^2=\dfrac{4}{5}$解析设 $F$ 到直线 $AP$ 的距离为 $h$，则\[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{PF^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac 59,\]于是 $O$ 到直线 $AP$ 的距离\[\dfrac 23h=\dfrac 23\sqrt{\dfrac 95}=\dfrac{2}{\sqrt 5},\]因此圆 $O$ 的方程为$$x^2+y^2=\dfrac 45.$$
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若圆 $O$ 的半径为 $\sqrt{3}$，点 $P,Q$ 满足 $k_{OP}\cdot k_{OQ}=-\dfrac{3}{4}$，直线 $PQ$ 与圆 $O$ 交于 $M,N$ 两点，求 $|MN|$ 的取值范围．标注答案$\left[2,\sqrt{6}\right]$解析作伸缩变换，将椭圆变为 $C':x'^2+y'^2=4$，此时三角形 $OP'Q'$ 为等腰直角三角形，于是 $O$ 到直线 $P'Q'$ 的距离为定值 $\sqrt 2$，进而在原图中 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离的取值范围是$$\left[\sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 2\right],$$即 $\left[\sqrt{\dfrac 32},\sqrt 2\right]$．因此 $|MN|$ 的取值范围是$$\left[2\sqrt{3-2},2\sqrt{3-\dfrac 32}\right],$$即 $\left[2,\sqrt 6\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
