已知 $P,Q$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 上的两点，满足 $k_{OP}\cdot k_{OQ}=-\dfrac{b^2}{a^2}$，求 $|PQ|$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{2}b,\sqrt{2}a\right]$
【解析】
设 $P \left(x_1,y_1\right)$，$Q \left(x_2,y_2\right)$．通过伸缩变换\[\begin{cases}
x'=\dfrac{x}{a},\\
y'=\dfrac{y}{b},
\end{cases}\]将椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 变为单位圆 $x'^2+y'^2=1$，此时椭圆的一条弦 $PQ$ 对应地变为圆的一条弦 $P'Q'$，且 $OP'\perp OQ'$，故 $\left|P'Q'\right|=\sqrt{2}$，
同时直线 $P'Q'$ 与圆 $x'^2+y'^2=\dfrac{1}{2}$ 相切，进而可知在原图形中，直线 $PQ$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{1}{2} (a>b>0)$ 相切．因此可以猜测当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，$|PQ|$ 取到最小值 $\sqrt{2}b$；当直线 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$|PQ|$ 取到最大值 $\sqrt{2}a$．下面给出证明．
当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，\[
\left|PQ\right|=b\left|P'Q'\right|=\sqrt{2}b.\]当直线 $PQ$ 的斜率为 $k$ 时，\[\begin{split}\left|PQ\right|^2
&=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2\\
&=\left(1+k^2\right)\left(x_1-x_2\right)^2,\end{split}\]而\[\begin{split}\left|P'Q'\right|^2
&=\left(x'_1-x'_2\right)^2+\left(y'_1-y'_2\right)^2\\
&=\dfrac{1}{a^2}\left(x_1-x_2\right)^2+\dfrac{1}{b^2}\left(y_1-y_2\right)^2\\
&=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2,\end{split}\]故\[\begin{split}\dfrac{|PQ|}{\left|P'Q'\right|}
&=\sqrt{\dfrac{1+k^2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}}}\\
&=ab\sqrt{\dfrac{1+k^2}{b^2+a^2k^2}}\\
&=\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+\dfrac{c^2k^2}{1+k^2}}},\end{split}\]考虑到 $0\leqslant \dfrac{c^2k^2}{1+k^2}<c^2$，当 $k=0$ 时，$\dfrac{c^2k^2}{1+k^2}=0$．所以当直线 $PQ$ 的斜率为 $k$ 时，\[
\sqrt{2}b=b\left|P'Q'\right|<\left|PQ\right|\leqslant a\left|P'Q'\right|=\sqrt{2}a.
\]综上所述，$|PQ|$ 的取值范围是 $\left[\sqrt{2}b,\sqrt{2}a\right]$．
当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，$|PQ|$ 取到最小值 $\sqrt{2}b$；
当直线 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$|PQ|$ 取到最大值 $\sqrt{2}a$．
x'=\dfrac{x}{a},\\
y'=\dfrac{y}{b},
\end{cases}\]将椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 变为单位圆 $x'^2+y'^2=1$，此时椭圆的一条弦 $PQ$ 对应地变为圆的一条弦 $P'Q'$，且 $OP'\perp OQ'$，故 $\left|P'Q'\right|=\sqrt{2}$，
同时直线 $P'Q'$ 与圆 $x'^2+y'^2=\dfrac{1}{2}$ 相切，进而可知在原图形中，直线 $PQ$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{1}{2} (a>b>0)$ 相切．因此可以猜测当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，$|PQ|$ 取到最小值 $\sqrt{2}b$；当直线 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$|PQ|$ 取到最大值 $\sqrt{2}a$．下面给出证明．
当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，\[
\left|PQ\right|=b\left|P'Q'\right|=\sqrt{2}b.\]当直线 $PQ$ 的斜率为 $k$ 时，\[\begin{split}\left|PQ\right|^2
&=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2\\
&=\left(1+k^2\right)\left(x_1-x_2\right)^2,\end{split}\]而\[\begin{split}\left|P'Q'\right|^2
&=\left(x'_1-x'_2\right)^2+\left(y'_1-y'_2\right)^2\\
&=\dfrac{1}{a^2}\left(x_1-x_2\right)^2+\dfrac{1}{b^2}\left(y_1-y_2\right)^2\\
&=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}\right)\left(x_1-x_2\right)^2,\end{split}\]故\[\begin{split}\dfrac{|PQ|}{\left|P'Q'\right|}
&=\sqrt{\dfrac{1+k^2}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}}}\\
&=ab\sqrt{\dfrac{1+k^2}{b^2+a^2k^2}}\\
&=\dfrac{ab}{\sqrt{b^2+\dfrac{c^2k^2}{1+k^2}}},\end{split}\]考虑到 $0\leqslant \dfrac{c^2k^2}{1+k^2}<c^2$，当 $k=0$ 时，$\dfrac{c^2k^2}{1+k^2}=0$．所以当直线 $PQ$ 的斜率为 $k$ 时，\[
\sqrt{2}b=b\left|P'Q'\right|<\left|PQ\right|\leqslant a\left|P'Q'\right|=\sqrt{2}a.
\]综上所述，$|PQ|$ 的取值范围是 $\left[\sqrt{2}b,\sqrt{2}a\right]$．
当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，$|PQ|$ 取到最小值 $\sqrt{2}b$；
当直线 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$|PQ|$ 取到最大值 $\sqrt{2}a$．
答案
解析
备注
