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已知 $P,Q$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 上的两点，满足 $k_{OP}\cdot k_{OQ}=-\dfrac{b^2}{a^2}$，求 $|PQ|$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    弦长公式
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的弦长与面积问题
【答案】
$\left[\sqrt{2}b,\sqrt{2}a\right]$
【解析】
设 $P \left(x_1,y_1\right)$，$Q \left(x_2,y_2\right)$．由题意，\[\begin{split}b^2x_1^2+a^2y_1^2&=a^2b^2,\\
b^2x_2^2+a^2y_2^2&=a^2b^2,\\
b^2x_1x_2+a^2y_1y_2&=0.\end{split}\]一方面，\[\begin{split}\left|PQ\right|^2
&=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2\\
&=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2\\
&=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+b^2\left(1-\dfrac{x_1^2}{a^2}\right)+b^2\left(1-\dfrac{x_2^2}{a^2}\right)
+\dfrac{2b^2}{a^2}x_1x_2\\
&=2b^2+\dfrac{c^2}{a^2}\left(x_1-x_2\right)^2\\
&\geqslant 2b^2,\end{split}\]因此当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，$x_1-x_2=0$，$|PQ|$ 取到最小值 $\sqrt{2}b$．
另一方面，\[\begin{split}
\left|PQ\right|^2
&=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2\\
&=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2\\
&=a^2\left(1-\dfrac{y_1^2}{b^2}\right)+a^2\left(1-\dfrac{y_2^2}{b^2}\right)+\dfrac{2a^2}{b^2}y_1y_2
+y_1^2+y_2^2-2y_1y_2\\
&=2a^2-\dfrac{c^2}{b^2}\left(y_1-y_2\right)^2\\
&\leqslant 2a^2,
\end{split}\]因此当直线 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$y_1-y_2=0$，$|PQ|$ 取到最大值 $\sqrt{2}a$．
综上所述，$|PQ|$ 的取值范围是 $\left[\sqrt{2}b,\sqrt{2}a\right]$．
当直线 $PQ$ 的斜率不存在时，$|PQ|$ 取到最小值 $\sqrt{2}b$；
当直线 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$|PQ|$ 取到最大值 $\sqrt{2}a$．
答案 解析 备注
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