已知 $n\geqslant 5$ 且 $n\in\mathbb N^*$，求证：$\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}>\dfrac{1}{2(n-1)}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑将 $\dfrac{1}{n^2}$ 裂项放缩为$$\dfrac{1}{n^2}\geqslant \dfrac{1}{(n-\lambda)(n+1-\lambda)}=\dfrac{1}{n-\lambda}-\dfrac{1}{n+1-\lambda},$$则不等号成立的条件为$$n^2\leqslant (n-\lambda)(n+1-\lambda),$$即$$n\geqslant \dfrac{\lambda(1-\lambda)}{1-2\lambda},\lambda<\dfrac 12,$$此时有$$\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}+\cdots +\dfrac{1}{(2n)^2}>\dfrac{1}{n-\lambda}-\dfrac{1}{2n+1-\lambda}=\dfrac{n+1}{(n-\lambda)(2n+1-\lambda)},$$我们希望$$\dfrac{n+1}{(n-\lambda)(2n+1-\lambda)}\geqslant \dfrac{1}{2(n-1)},$$即$$n\geqslant \dfrac{2-\lambda(1-\lambda)}{3\lambda -1},\lambda >\dfrac 13,$$当 $n\geqslant 5$ 时，对 $\lambda$ 的要求是$$\begin{cases} \lambda^2-11\lambda +5\geqslant 0,\\ \lambda^2-16\lambda +7\leqslant 0,\end{cases}$$即$$8-\sqrt{57}\leqslant \lambda \leqslant \dfrac{11-\sqrt{101}}{2},$$因此取 $\lambda=\dfrac{5}{11}$ 即可．
答案
解析
备注
