已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，且 $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C<2$，求证：$\triangle ABC$ 为钝角三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C>1,$$由余弦定理，得$$\sum_{cyc}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2>1,$$去分母得$$\sum_{cyc}\left[a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\right]>4a^2b^2c^2.$$注意到当 $\triangle ABC$ 为直角三角形时该不等式左右两边相等，于是上式可以因式分解为$$\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(a^2-b^2+c^2\right)\left(-a^2+b^2+c^2\right)<0,$$因此左边的三个因式中必然存在一个负因式，于是 $\triangle ABC$ 为钝角三角形．
答案
解析
备注
