已知 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，求证：$S_A\overrightarrow{PA}+S_B\overrightarrow{PB}+S_C\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，其中 $S_{A}$，$S_{B}$，$S_{C}$ 分别是 $\triangle BPC$，$\triangle CPA$，$\triangle APB$ 的面积．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $\angle APB=\alpha$，$\angle APC =\beta$，$PA=x$，$PB=y$，$PC=z$，欲证等式左边与 $\overrightarrow{PA}$ 作数量积\[\begin{split}&\quad \left(S_A\overrightarrow{PA}+S_B\overrightarrow{PB}+S_C\overrightarrow{PC}\right)\cdot\overrightarrow{PA}\\&=\dfrac 12yz\sin\left[2{\mathrm \pi}-\left(\alpha+\beta\right)\right]\cdot x^2+\dfrac 12zx\sin\beta\cdot xy\cos\alpha+\dfrac 12xy\sin\alpha\cdot zx\cos\beta\\&=\dfrac 12x^2yz\left[-\sin\left(\alpha+\beta\right)+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\right]\\&=0,\end{split}\]同理，欲证不等式左边与 $\overrightarrow{PB}$ 作数量积得到的结果也均为 $0$．而向量 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}$ 不共线，因此欲证明等式左边为零向量，等式得证．
答案
解析
备注
