已知参数方程 $\Gamma:\begin{cases} x=\dfrac{t^2-2t}{t^2+1},\\ y=\dfrac{-t-2}{t^2+1},\end{cases}$ 其中 $t$ 为参数且 $t\in\mathbb {R}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $\Gamma$ 的直角坐标方程，并说明其表示何种二次曲线；标注答案$5x^2+5y^2-8xy-13x+14y+8=0$，椭圆解析令 $t=\tan \theta$，则$$x=\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta=-\sin 2\theta-\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12,$$且$$y=-\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta=-\dfrac 12\sin 2\theta-\cos 2\theta-1,$$从而解得$$\begin{cases} \sin 2\theta=-\dfrac 43x+\dfrac 23y+\dfrac 43,\\ \cos 2\theta =\dfrac 23x-\dfrac 43y-\dfrac 53,\end{cases}$$于是由$$\left(-\dfrac 43x+\dfrac 23y+\dfrac 43\right)^2+\left(\dfrac 23x-\dfrac 43y-\dfrac 53\right)^2=1$$化简即得该参数方程对应的普通方程为$$\left(x-2y-\dfrac 52\right)^2+(2x-y-2)^2=\dfrac 94,$$也即$$5x^2+5y^2-8xy-13x+14y+8=0.$$该二次曲线有界曲线且不是圆可得曲线表示的是椭圆．
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求 $\Gamma$ 的对称轴方程及离心率．标注答案对称轴为 $y=x-\dfrac 32$ 与 $y=-x-\dfrac 12$；离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$解析联立直线$$\begin{cases} x-2y-\dfrac 52=0,\\2x-y-2=0,\end{cases}$$得到它们的交点 $E\left(\dfrac 12,-1\right )$，这就是椭圆的中心（椭圆上的任意一点关于 $E$ 的对称点在椭圆上）．于是我们将坐标系的原点平移到点 $E$，得到新坐标系 $x'Ey'$，坐标变换公式为$$\begin{cases} x'=x-\dfrac 12,\\y'=y+1. \end{cases}$$于是得到曲线在新坐标系下的方程为$$(x'-2y')^2+(2x'-y')^2=\dfrac 94.$$这条曲线关于 $y'=x'$ 以及 $y'=-x'$ 对称，所以 $y'=\pm x'$ 是椭圆的两条对称轴，即 $y=x-\dfrac 32$ 与 $y=-x-\dfrac 12$ 是椭圆的两条对称轴．
分别将直线 $y=x-\dfrac 32$ 与 $y=-x-\dfrac 12$ 与椭圆 $E$ 联立可得$$2\left(x-\dfrac 12\right)^2=\dfrac 94,2\left(3x-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 94,$$因此长轴长平方与短轴长平方之比为 $9:1$，进而可得离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
