已知函数 $f(x)=\dfrac{(x-1)\ln x}{x}$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，$x_1\neq x_2$，求证：$x_1+x_2>2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\dfrac {x^{2}-x+\ln x}{x^{2}}.$$构造函数 $g(x)=(x-1)^2$ 即可．考虑函数$$f(x)-g(x)=\dfrac {x-1}{x}(\ln x-x^{2}+x),$$记 $h(x)=\ln x-x^2+x$，则$$h'(x)=\dfrac 1x-2x+1=\dfrac {(1-x)(1+2x)}{x},$$所以 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．
又因为 $h(1)=0$，所以 $h(x)\leqslant 0$．从而有当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)>g(x)$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$f(x)<g(x)$．
因为 $f(x_1)=f(x_2)>0$，所以存在 $x_3<1<x_4$，满足 $g(x_3)=g(x_4)=f(x_1)=f(x_2)$，结合上面 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有大小关系有 $x_3<x_1<1<x_4<x_2$，从而有 $x_1+x_2>x_3+x_4=2$．
又因为 $h(1)=0$，所以 $h(x)\leqslant 0$．从而有当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)>g(x)$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，$f(x)<g(x)$．
因为 $f(x_1)=f(x_2)>0$，所以存在 $x_3<1<x_4$，满足 $g(x_3)=g(x_4)=f(x_1)=f(x_2)$，结合上面 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有大小关系有 $x_3<x_1<1<x_4<x_2$，从而有 $x_1+x_2>x_3+x_4=2$．
答案
解析
备注
