已知 $0<x_1<x_2$ 且 $x_1+x_2=6$，$f(x)=\dfrac{x^3}{{\mathrm e}^x}$，求证：$f(x_1)<f(x_2)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $g(x)=\ln{f(x)}=3\ln x-x$，则其导函数$$g'(x)=\dfrac 3x-1,$$令 $h(x)=g(x)-g(6-x)$，则其导函数$$h'(x)=g'(x)+g'(6-x)=\dfrac 3x+\dfrac 3{6-x}-2\geqslant \dfrac{(\sqrt 3+\sqrt 3)^2}{x+(6-x)}-2=0,$$其中用到柯西不等式．
因此 $h(x)$ 单调递增，结合 $h(3)=0$，因此有当 $x\in (0,3)$ 时，$g(x)<g(6-x)$，原命题得证．
因此 $h(x)$ 单调递增，结合 $h(3)=0$，因此有当 $x\in (0,3)$ 时，$g(x)<g(6-x)$，原命题得证．
答案
解析
备注
